Аппроксимация функции ортогональными полиномами методом наименьших квадратов

(Подбор эмпирических зависимостей)

7.1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ МЕТОДА

Автоматизация метрологических исследований требует определения и использования для математической обработки результатов измерения единых методов, удобных при работе с вычислительной техникой. Одной из ключевых проблем является представление результатов метрологических исследований с использованием ЭВМ, например, при совместных измеренияхдля определения зависимости между двумя или несколькими неодноименными величинами.

Из широкого круга задач рассматривается только наиболее часто встречающаяся задача аппроксимации, которая сводится к поиску аналитической зависимости в виде эмпирической формулы для случая, когда значения функции получены из наблюдения с некоторой погрешностью и представлены в табличной форме.

Одним из известных методов, применяемых для решения этой задачи, является метод наименьших квадратов (МНК) и его разновидность — аппроксимация функции ортогональными полиномами (МНКОП), которая была разработана Дж. Форсайтом [48, 55]. Одним из преимуществ данного метода является возможность автоматизации при выборе числа параметров функции (степени полинома), а также возможность дальнейшей автоматизации и использование других видов функций отличных от полиномов.

Указанный метод МНКОП рекомендуется также ИСО в ряде документов [Н15, Н16].

В данной главе мы изложим метод Форсайта, а также покажем как можно распространить данный метод на многомерный случай.

Искомое уравнение регрессии представляют в виде полинома [6 — 9, 12, 20, 21, 28, 29]

Аппроксимация функции ортогональными полиномами методом наименьших квадратов (7.1)

где n — степень полинома; Аппроксимация функции ортогональными полиномами методом наименьших квадратов — коэффициент полинома при i-ой степени аргумента x.

Мерой приближения выбранной зависимости к полученным экспериментальным значениям принимают сумму квадратов разностей экспериментальных значений Аппроксимация функции ортогональными полиномами методом наименьших квадратов и вычисленных значений регрессии Аппроксимация функции ортогональными полиномами методом наименьших квадратов в N узловых точках Аппроксимация функции ортогональными полиномами методом наименьших квадратов , в связи с чем метод получил свое название метода наименьших квадратов.

При метрологических исследованиях результаты измерения могут быть получены с индивидуальной различной погрешностью, поэтому степень доверия к ним также различна. Математически это обстоятельство учитывается введением весовой функции

Аппроксимация функции ортогональными полиномами методом наименьших квадратов (7.2)

которую обычно выбирают произвольно (см. ниже).

Таким образом, задачу сводят к выбору параметров (коэффициентов Аппроксимация функции ортогональными полиномами методом наименьших квадратов полинома Аппроксимация функции ортогональными полиномами методом наименьших квадратов ), которые минимизируют функционал

Аппроксимация функции ортогональными полиномами методом наименьших квадратов (7.3)

где N — число точек наблюдения.

Аппроксимирующий полином Аппроксимация функции ортогональными полиномами методом наименьших квадратов можно также представить в виде линейной комбинации ортогональных полиномов [21, 26, 27, 53]

Аппроксимация функции ортогональными полиномами методом наименьших квадратов (7.4)

где Аппроксимация функции ортогональными полиномами методом наименьших квадратов — числовой коэффициент;

Аппроксимация функции ортогональными полиномами методом наименьших квадратов — ортогональный полином i-ой степени с коэффициентом при старшем члене, равном единице.

Условие ортогональности записывают в виде

Аппроксимация функции ортогональными полиномами методом наименьших квадратов (7.5)

Для нахождения коэффициентов Аппроксимация функции ортогональными полиномами методом наименьших квадратов при ортогональных полиномах подставляют в уравнение (7.3) выражение (7.4) и, приравнивая к нулю частные производные по Аппроксимация функции ортогональными полиномами методом наименьших квадратов , получают нормальную систему уравнений:

Аппроксимация функции ортогональными полиномами методом наименьших квадратов (7.6)

где i = 0,1,…,n . Отсюда с учетом условий ортогональности получают

Аппроксимация функции ортогональными полиномами методом наименьших квадратов (7.7)

где j = 0,1,…,n.

Для построения ортогональных полиномов принимают Аппроксимация функции ортогональными полиномами методом наименьших квадратов , а остальные ортогональные полиномы ищут из уравнения

Аппроксимация функции ортогональными полиномами методом наименьших квадратов (7.8)

где Аппроксимация функции ортогональными полиномами методом наименьших квадратов — некоторый коэффициент.

Из условия ортогональности выражения (7.5) имеют число уравнений k для определения Аппроксимация функции ортогональными полиномами методом наименьших квадратов , откуда

Аппроксимация функции ортогональными полиномами методом наименьших квадратов (7.9)

Можно показать, что только два члена Аппроксимация функции ортогональными полиномами методом наименьших квадратов и Аппроксимация функции ортогональными полиномами методом наименьших квадратов , вычисленные по формуле (7.9) , будут не равны нулю.

Представив Аппроксимация функции ортогональными полиномами методом наименьших квадратов в виде линейной комбинации ортогональных полиномов

Аппроксимация функции ортогональными полиномами методом наименьших квадратов (7.10)

и применив к произведениям, стоящим в числителе формулы (7.9),условие ортогональности , получают следующие выражения для коэффициентов:

Аппроксимация функции ортогональными полиномами методом наименьших квадратов (7.11)

Матрица коэффициентов Аппроксимация функции ортогональными полиномами методом наименьших квадратов ортогональных полиномов имеет вид

Аппроксимация функции ортогональными полиномами методом наименьших квадратов

В результате получают следующие формулы для вычисления ортогональных полиномов:

Аппроксимация функции ортогональными полиномами методом наименьших квадратов (7.12)

Аппроксимирующий полином вычисляют по формуле (7.4) или по следующей формуле

Аппроксимация функции ортогональными полиномами методом наименьших квадратов (7.13)

Вычисление коэффициентов ортогональных и аппроксимирующего полиномов производится следующим образом.

Если расписать младшие ортогональные полиномы и привести подобные члены, то ортогональный полином k-й степени Аппроксимация функции ортогональными полиномами методом наименьших квадратов будет иметь вид

Аппроксимация функции ортогональными полиномами методом наименьших квадратов (7.14)

где Аппроксимация функции ортогональными полиномами методом наименьших квадратов — числовой коэффициент при j-й степени аргумента ортогонального полинома k-й степени.

Сравнивая выражения (7.12) и (7.14), можно получить следующие формулы для вычисления коэффициентов ортогональных полиномов:

Аппроксимация функции ортогональными полиномами методом наименьших квадратов

Матрицы коэффициентов ортогональных полиномов имеют треугольный вид с единицами по главной диагонали

Аппроксимация функции ортогональными полиномами методом наименьших квадратов

Коэффициенты аппроксимирующих полиномов вычисляют по формулам

Аппроксимация функции ортогональными полиномами методом наименьших квадратов

Матрица коэффициентов аппроксимирующего полинома также имеет треугольный вид с коэффициентами Аппроксимация функции ортогональными полиномами методом наименьших квадратов по главной диагонали..

Аппроксимация функции ортогональными полиномами методом наименьших квадратов

Построение функции регрессии с помощью описанного метода является основным, и он широко используется для решения различных метрологических задач [12].

Для реализации этого метода обычно составлены программы для ЭВМ, например подпрограмма OR [12]. Подпрограмма OR используется также при выборе эмпирических зависимостей для математического описания линии регрессии функциями отличными по своему виду от полиномов [10].

Случайные записи:

Метод наименьших квадратов. Тема


Похожие статьи:

Добавьте постоянную ссылку в закладки. Вы можете следить за комментариями через RSS-ленту этой статьи.
Комментарии и трекбеки сейчас закрыты.