Аппроксимация многомерной функции многомерными ортогональными полиномами

Рассмотрим вопрос об аппроксимации функции многих переменных, значения которой заданы в табличной форме, ортогональными полиномами методом наименьших квадратов [11].

Предположим, что в результате наблюдений получена таблица значений функции от n аргументов в N точках с некоторой погрешностью

Аппроксимация многомерной функции многомерными ортогональными полиномами (7.15)

где Аппроксимация многомерной функции многомерными ортогональными полиномами и пусть число точек N достаточно велико.

Найдем полином k-й степени Аппроксимация многомерной функции многомерными ортогональными полиномами от n переменных, минимизирующее выражение

Аппроксимация многомерной функции многомерными ортогональными полиномами (7.16)

где Аппроксимация многомерной функции многомерными ортогональными полиномами — весовая функция.

Употребляя обозначения Гаусса (вместо символа Аппроксимация многомерной функции многомерными ортогональными полиномами для обозначения суммирования по числу N точек следует писать квадратные скобки, а индексы опускать), выражение (7.16)запишем следующим образом:

Аппроксимация многомерной функции многомерными ортогональными полиномами (7.17)

Функцию Аппроксимация многомерной функции многомерными ортогональными полиномами ищем в виде

Аппроксимация многомерной функции многомерными ортогональными полиномами (7.18)

где Аппроксимация многомерной функции многомерными ортогональными полиномами — ортогональный полином i-й степени.

Запишем условие ортогональности

Аппроксимация многомерной функции многомерными ортогональными полиномами (7.19)

Из условий (7.19)следует, что

Аппроксимация многомерной функции многомерными ортогональными полиномами при Аппроксимация многомерной функции многомерными ортогональными полиномами (7.20)

Подставляя (7.18) в (7.20), учитывая условие ортогональности Аппроксимация многомерной функции многомерными ортогональными полиномами , найдем коэффициент а.

Аппроксимация многомерной функции многомерными ортогональными полиномами (7.21)

Обратимся к построению ортогональных полиномов. Положим Аппроксимация многомерной функции многомерными ортогональными полиномами , а Аппроксимация многомерной функции многомерными ортогональными полиномами распишем для общего случая

Аппроксимация многомерной функции многомерными ортогональными полиномами (7.22)

Пронумеруем коэффициенты Аппроксимация многомерной функции многомерными ортогональными полиномами и Аппроксимация многомерной функции многомерными ортогональными полиномами . Для этого представим индексы Аппроксимация многомерной функции многомерными ортогональными полиномами как числа в (k+1)-ой системе счисления, расположим их в возрастающем порядке и пересчитаем. Всего коэффициентов Аппроксимация многомерной функции многомерными ортогональными полиномами будет Аппроксимация многомерной функции многомерными ортогональными полиномами (в дальнейшем будем их обозначать через Аппроксимация многомерной функции многомерными ортогональными полиномами где Аппроксимация многомерной функции многомерными ортогональными полиномами ), а коэффициентов Аппроксимация многомерной функции многомерными ортогональными полиномами будет Аппроксимация многомерной функции многомерными ортогональными полиномами (в дальнейшем будем их обозначать Аппроксимация многомерной функции многомерными ортогональными полиномами , где Аппроксимация многомерной функции многомерными ортогональными полиномами ).

Также поступим с произведениями

Аппроксимация многомерной функции многомерными ортогональными полиномами (7.23)

где Аппроксимация многомерной функции многомерными ортогональными полиномами индекс соответствующих коэффициентов Аппроксимация многомерной функции многомерными ортогональными полиномами .

Перепишем (7.22) в новых обозначениях:

Аппроксимация многомерной функции многомерными ортогональными полиномами (7.24)

Из условия ортогональности имеем Аппроксимация многомерной функции многомерными ортогональными полиномами уравнений для определения Аппроксимация многомерной функции многомерными ортогональными полиномами неизвестных коэффициентов Аппроксимация многомерной функции многомерными ортогональными полиномами и Аппроксимация многомерной функции многомерными ортогональными полиномами .

Аппроксимация многомерной функции многомерными ортогональными полиномами , (7.25)

где Аппроксимация многомерной функции многомерными ортогональными полиномами , или в развернутом виде

Аппроксимация многомерной функции многомерными ортогональными полиномами .

В дальнейшем под символом Аппроксимация многомерной функции многомерными ортогональными полиномами будем понимать матрицу, составленную из элементов Аппроксимация многомерной функции многомерными ортогональными полиномами , в которой m-й столбец заменен элементами Аппроксимация многомерной функции многомерными ортогональными полиномами .

При введенных обозначениях из системы (7.25) получаем коэффициенты Аппроксимация многомерной функции многомерными ортогональными полиномами в следующем виде:

Аппроксимация многомерной функции многомерными ортогональными полиномами (7.26)

ортогональный многочлен Аппроксимация многомерной функции многомерными ортогональными полиномами — в виде

Аппроксимация многомерной функции многомерными ортогональными полиномами (7.27)

где

Аппроксимация многомерной функции многомерными ортогональными полиномами (7.28)

Найдем коэффициенты Аппроксимация многомерной функции многомерными ортогональными полиномами , для чего подставим (7.27) в (7.25)

Аппроксимация многомерной функции многомерными ортогональными полиномами (7.29)

где

Аппроксимация многомерной функции многомерными ортогональными полиномами (7.30)

Дифференцируя F по Аппроксимация многомерной функции многомерными ортогональными полиномами и приравнивая производные нулю, получим нормальную систему линейных уравнений

Аппроксимация многомерной функции многомерными ортогональными полиномами (7.31)

где Аппроксимация многомерной функции многомерными ортогональными полиномами откуда

Аппроксимация многомерной функции многомерными ортогональными полиномами (7.32)

Таким образом, ортогональные полиномы и аппроксимирующий многочлен определяются из формул (7.18), (7.27), (7.28), (7.30), (7.32).

Случайные записи:

Эфир (Часть 8) Мир — трехмерен: многомерные миры не существуют


Похожие статьи:

Добавьте постоянную ссылку в закладки. Вы можете следить за комментариями через RSS-ленту этой статьи.
Комментарии и трекбеки сейчас закрыты.