Фактор-множество. упорядоченное множество

Определение 1. Отношениеrна A есть отношение эквивалентности, еслионо рефлексивно, симметрично и транзитивно. Отношение эквивалентности arb часто обозначается: a ~ b.

Пример 1. Отношение равенства на множестве целых чисел есть отношение эквивалентности на множестве людей X.

Пример 2.Пусть ¢ — множество целых чисел. Назовем два числа x и y из ¢ сравнимыми по модулю m (mI¥) и запишем , если равны остатки этих чисел от деления их на m, т.е. разность (x-y) делится на m.

Отношение «сравнимых по модулю m целых чисел» есть отношение эквивалентности на множестве целых числе ¢. В самом деле:

это отношение рефлексивно, т.к. для xI¢ имеем x-x=0, и, следовательно, оно делится на m;

это отношение симметрично, т.к. если (x-y) делится на m, то и (y-x) тоже делится на m;

это отношение транзитивно, т.к. если (x-y) делится на m, то для некоторого целого t1 имеем , а если (y-z) делится на m, то для некоторого целого t2 имеем , отсюда , т.е. (x-z) делится на m.

Определение 2. Отношение r на A есть отношение частичного порядка, если оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно и обозначается символом °.

Частичный порядок важен в тех ситуациях, когда мы хотим как-то охарактеризовать старшинство. Иными словами, решить при каких условиях считать, что один элемент множества превосходит другой.

Пример 3. Отношение x?y на множестве действительных чисел есть отношение частичного порядка.

Пример 4. Во множестве подмножеств некоторого универсального множества U отношение AIB есть отношение частичного порядка.

Пример 5. Схема организации подчинения в учреждении есть отношение частичного порядка на множестве должностей.

Прообразом отношения частичного порядка является интуитивное понятие отношения предпочтения (предшествования). Отношение предпочтения выделяет класс задач, которые можно объединить, как задача о проблеме выборанаилучшего объекта.

Формулировка задачи: пусть имеется совокупность объектов A и требуется сравнить их по предпочтительности, т.е. задать отношение предпочтения на множестве A и определить наилучшие объекты.

Отношение предпочтения P, которое можно определить как «aPb, a, bIA U объект a не менее предпочтителен, чем объект b» является по смыслу рефлексивным и антисимметричным (каждый объект не хуже самого себя, и, если объект a не хуже b и b не хуже a, то они одинаковы по предпочтительности). Естественно считать, что отношение P транзитивно (хотя в случае, когда, например, предпочтения обсуждаются группой лиц с противоположными интересами, это свойство может быть нарушено), т.е. P – отношение частичного порядка.

Один из возможных способов решения задачи сравнения объектов по предпочтительности – ранжирование, т.е. упорядочение объектов в соответствии с убыванием их предпочтительности или равноценности. В результате ранжирования мы выделяем «наилучшие» или «наихудшие» с точки зрения отношения предпочтения объекты.

Области применения задачи о проблеме выбора наилучшего объекта: теория принятия решений, прикладная математика, техника, экономика, социология, психология.

Интуитивная топология | теормнож. вопр. | бинар. отн. | отношение эквивалентности | фактормножество


Добавьте постоянную ссылку в закладки. Вы можете следить за комментариями через RSS-ленту этой статьи.
Комментарии и трекбеки сейчас закрыты.