Основные положения алгебры логики

В ЭВМ, импульсных и других цифровых устройствах широко применяются логические элементы (ЛЭ). Каждый ЛЭ выполняет вполне определенную логическую операцию. Основными логическими операциями являются:

логическое отрицание НЕ (инверсия);

логическое сложение ИЛИ (дизъюнкция);

логическое умножение И (конъюнкция).

На основе этих простых логических операций могут строиться и более сложные: операция отрицания логического сложения ИЛИ — НЕ, операция отрицания логического умножения И — НЕ, операция ЗАПРЕТ и др.

Для описания логических операций используется математический аппарат, получивший название алгебры логики или булевой алгебры (в честь ее разработчика— ирландского математика Джорджа Буля). Алгебра логики изучает взаимосвязь между простыми высказываниями, образующими сложные высказывания. С точки зрения алгебры логики простое высказывание может иметь только два значения — истинное или ложное. Одно из этих значений принимается за 1, второе — за 0. Следовательно, простое высказывание является двоичной переменной.

Алгебра логики широко применяется в теории цифровой техники, в которой используются устройства, имеющие два устойчивых состояния равновесия. При этом одно из состояний, соответствующее, например, высокому уровню напряжения, обозначается единицей, а соответствующее низкому уровню напряжения — нулем.

Уровень выходного напряжения логического элемента зависит от уровня входного (или нескольких входных) напряжений. Эта связь отображается таблицей состояний, или таблицей истинности.

Операция логического отрицания НЕ (инверсия) преобразует истинное высказывание в ложное или наоборот. Например, ложное высказывание «два больше трех», высказанное с отрицанием «два НЕ больше трех», становится истинным. Символически операция логического отрицания обозначается в виде черточки над аргументом:Основные положения алгебры логики . Такое выражение читается: «у равен НЕ х».

Операция логического отрицания имеет два исхода в зависимости от значения аргумента: а) если х = 0, то у = 1 и б) если х = 1, то у = 0.

Операция логического сложения ИЛИ (дизъюнкция) используется для образования сложного высказывания из простых. При этом сложное высказывание будет истинным, если истинно хотя бы одно из простых высказываний, и ложным, если ложны все простые высказывания. Символически операция ИЛИ обозначается выражениями:

у = х1 + x2 + x3 + … ИЛИ y = x1\/ x2\/ x3\/ …

Читается: «у равен x1 или х2 или х3…»

Результаты логической операции ИЛИ для всех возможных комбинаций двух аргументов приведены в табл. 10.1.

Операция логического умножения И (конъюнкция) тоже используется для образования сложного высказывания из простых, но при этом сложное высказывание считается истинным тогда и только тогда, когда истинны все простые высказывания.

Символически операция И обозначается выражениями:

y = x1 – x2 – x3 … или у = х1 /\ х2 /\ х3 /\ …

Читается: «у равен х1 и х2 и х3 …»

Результаты логической операции И для двух аргументов также приведены в табл. 10.1.

Операция отрицания логического сложения ИЛИ — НЕ, называемая также «стрелкой Пирса», образует сложное высказывание из простых в соответствии со следующим правилом (табл. 10.1): сложное высказывание истинно лишь в том случае, когда ложны все образующие его простые высказывания, и ложно, если истинно хотя бы одно из простых высказываний.

Символически операция ИЛИ — НЕ обозначается выражениями:

Основные положения алгебры логики Основные положения алгебры логики y = x1 + x2 или у = x1 v х2 или у = x1 \/ x2 .

Операция отрицания логического умножения И — НЕ, известная также под названием «штрих Шеффера», образует сложное высказывание из простых согласно правилу: сложное высказывание истинно, если ложно хотя бы одно из простых высказываний, и ложно, если все простые высказывания истинны (см. табл. 10.1).

Символически операция И — НЕ обозначается выражениями:

Основные положения алгебры логики Основные положения алгебры логики у = x1 • x2 или y = x1 / х2 или у = x1 /\ x2.

Операция ЗАПРЕТ представляет сложное высказывание, которое истинно только тогда, когда первое из двух высказываний истинно, а второе — ложно. Символически операция ЗАПРЕТ обозначается выражениями:

Основные положения алгебры логики Основные положения алгебры логики у = x1 • x2 или у = x1 /\ x2.

Результаты логической операции ЗАПРЕТ приведены в табл. 10.1.

Табл. 10.1. Результаты логических операций ИЛИ, И, ИЛИ — НЕ, И — НЕ и ЗАПРЕТ

Основные положения алгебры логики

Логические элементы обычно выполняются на базе электронных ключей.

ЭЛЕКТРОННЫЕ КЛЮЧИ

Общие сведения.Электронный ключ — это устройство, которое может находиться в одном из двух устойчивых состояний: замкнутом или разомкнутом. Переход из одного состояния в другое в идеальном электронном ключе (рис. 10.1) происходит скачком под влиянием упрвляющего напряжения или тока.

Основные положения алгебры логики

Рис. 10.1. Схема идеального электронного ключа (а) и графики изменений тока (б) и выходного напряжения (в) при переходе ключа из состояния «Выключено» в состояние «Включено»

В реальных электронных ключах переход из открытого состояния в закрытое и наоборот происходит не мгновенно, а в течение некоторого времени. Это время определяется инерционностью активного нелинейного элемента и наличием в ключе паразитных емкостей и ин-дуктивностей. Кроме того, реальные ключи в разомкнутом состоянии имеют конечное сопротивление, вследствие чего у них в состоянии «Выключено» ток i ? 0 и напряжение uвыхЕ. В замкнутом состоянии сопротивление ключа Ri отлично от нуля, поэтому в состоянии «Включено» i = E/(R + Ri) и uвых = iRi = ERi/(R + Ri).

Качество ключа тем выше, чем меньше значения тока в закрытом состоянии, напряжения на выходе в открытом состоянии и время переключения из одного состояния в другое.

Основу электронного ключа составляет нелинейный активный элемент (полупроводниковый диод, транзистор, тиристор и др.), работающий в ключевом режиме. По типу используемого нелинейного элемента электронные ключи делятся на диодные, транзисторные, тиристорные и т.д.

Диодные ключи. Простейшим типом электронных ключей являются диодные ключи. Их схемы аналогичны схемам диодных ограничителей. В последовательном диодном ключе (см. рнс. 9.11, а)при u10 диод смещен в обратном направлении и через нагрузку R протекает небольшой обратный ток Iобр, вследствие чего и2 = IобрR ? 0. При u10 диод открыт, его сопротивление мало и и2 ? u1(рис. 10.2, а).Если поменять местами выводы подключения диода

Основные положения алгебры логики

Рис. 10.2. Графики изменений напряжений па входе ил и выходе и-2 последовательных диодных ограничителей «снизу» (а) и «сверху» (б)

(см. рнс. 9.12, а),то диод оказывается закрытым при и10, а при и10 он открыт и и2 ? u1 (рис. 10.2, б).

В параллельных диодных ключах (см. рис. 9.14 и рис. 9.15) и2 ? u1 при полярностях напряжения и1, соответствующих закрытому состоянию диода, и и2 ? 0 при полярностях напряжения и1, смещающих диод в прямом направлении.

В современной электронной технике наибольшее применение находят транзисторные ключи.

Ключи на биполярных транзисторах.Простейшая схема транзисторного ключа (рис. 10.3, а) подобна схеме транзисторного усилителя, однако она отличается режимом работы транзистора. При работе в ключевом режиме

Основные положения алгебры логики

Рис. 10.3. Схемы транзисторного ключа (а) и характеристики (б), иллюстрирующие изменения режима

при переходе ключа из закрытого состояния (точка А)в открытое (точка В)

рабочая точка транзистора может находиться только в двух положениях: в области отсечки (транзистор закрыт) и в области насыщения (транзистор открыт и насыщен). Такие ключи называют насыщенными транзисторными ключами. Иногда применяются ключи, в которых рабочая точка при открытом транзисторе находится в активной области (обычно вблизи области насыщения, но не достигает ее). Такие ключи называют ненасыщенными. Чаще применяются транзисторные насыщенные ключи, так как у них в состоянии «Включено» выходное напряжение имеет более низкий уровень и отличается большей стабильностью.

Для обеспечения режима отсечки на вход ключа необходимо подать отрицательное напряжение uвх = –Е1 (или положительное для р — п — р-транзистора). Через транзистор и резистор Rб,будут протекать обратные токи Iкбо и Iэбо. Учитывая, что Iэбо « Iкбо, можно считать, что через резистор Rб протекает лишь ток Iкбо. Напряжение IкбоRб является отпирающим для транзистора, так как плюсом подключается к базе. Чтобы транзистор оставался закрытым, необходимо выполнить условие

Основные положения алгебры логики (10.1)

Для надежного запирания транзистора абсолютное значение отрицательного напряжения UБЭдолжно быть не менее некоторого значения порогового напряжения UБЭ пор,и окончательное условие для обеспечения режима отсечки имеет вид

Основные положения алгебры логики

или для обсолютных значений

Основные положения алгебры логики и (10.2)

Режим отсечки характеризуется точкой А на выходной нагрузочной характеристике (рис. 10.3, б).Выходное напряжение в режиме отсечки

Основные положения алгебры логики

Для перехода транзистора в режим насыщения на вход ключа необходимо подать такое положительное напряжение Е2, при котором в цепи базы создается ток

Основные положения алгебры логики ,

где IБ нас — ток базы на границе между активным режимом и режимом насыщения (точка В на рис. 10.3, б).

Ток коллектора в режиме насыщения

Основные положения алгебры логики .

Так как UКЭ нас « Ек, то условием насыщения является

Основные положения алгебры логики (10.3)

В режиме насыщения коллекторное напряжение UКЭ нас остается положительным по отношению к эмиттеру, но имеет очень малое значение (десятые доли вольта для германиевых транзисторов и 1 …1,5 В для кремниевых). Поэтому напряжение на коллекторном ЭДП оказывается отрицательным:

Основные положения алгебры логики

и он включается в прямом направлении.

Таким образом, чтобы устройство, показанное на рис. 10.3, а,работало в ключевом режиме, на его вход необходимо подавать разнополярные напряжения Е1 и Е2, при которых выполняются условия (10.2) и (10.3).

Быстродействие электронного ключа зависит от времени включения и выключения.

Время включения определяется временем задержки, обусловленным инерционностью диффузионного движеният неосновных носителей заряда в базе БТ, и временем формирования фронта (временем установления) выходного напряжения. Время выключения складывается из времени рассасывания накопленных в базе неосновных носителей заряда и времени формирования среза выходного напряжения.

Увеличению быстродействия транзисторного ключа способствуют применение высокочастотных транзисторов, увеличение отпирающего и обратного токов базы, а также уменьшение тока базы в режиме насыщения.

Для увеличения отпирающего IБ1 и обратного IБ2 токов используются транзисторные ключи с форсирующим конденсатором Сб,который подключается параллельно части сопротивления базовой цепи транзистора (рис. 10.4, а).
Поэтому при замыкании ключа в момент формирования фронта выходного напряжения ток базы будет протекать только через R’б и иметь значение I’Б = E2/ R’б,которое превышает его значение без форсирующего конденсатора, равного I»Б1 = E2 /( R’б + R»б).

За время формирования фронта конденсатор зарядится очень незначительно, и его зарядка будет продолжаться после окончания формирования фронта выходного импульса. При этом сопротивление конденсатора Сб будет увеличиваться, а ток базы — уменьшаться.

В момент выключения ключа ток базы I’Б2 будет определяться суммой напряжений E1+ UСб и сопротивлением R’б : I’Б2 = (E1+ UСб)/ R’б,что превышает его значение I»Б2 = E1 / R’б при отсутствии форсирующего конденсатора. Это приведет к уменьшению времени рассасывания накопленных в базе неосновных носителей заряда.

Для уменьшения тока базы в режиме насыщения применяют ненасыщенные ключи, в которых между базой и коллектором включают диод Шоттки (рис. 10.4, б).Диод Шоттки имеет напряжение отпирания на 0,1…0,2 В меньше, чем напряжение насыщения коллекторного перехода, поэтому он открывается до наступления режима насыщения, и часть тока базы через открытый диод проходит в коллекторную цепь транзистора, предотвращая тем самым накопление в базе заряда неосновных носителей. Ненасыщенные ключи с диодом Шоттки широко применяются в ИМС. Это связано с тем, что изготовление диодов Шоттки на основе транзисторной структуры с помощью интегральной технологии не требует никаких дополнительных операций и не приводит к увеличению площади кристалла, занимаемой элементами ключа.

Основные положения алгебры логики

Рис. 10.4. Схемы быстродействующих электронных ключей:

а — с форсирующим конденсатором; 6 — с диодом Шоттки

Ключи на МДП-транзисторах.В ключах на полевых транзисторах (рис. 10.5) отсутствует такой недостаток, как накопление и рассасывание неосновных носителей,-поэтому время переключения определяется зарядкой и перезарядкой междуэлектродных емкостей. Роль резистора Rс могут выполнять полевые транзисторы. Это значительно облегчает технологию производства интегральных ключей на полевых транзисторах.

Основные положения алгебры логики

Рис. 10.5. Схемы электронных ключей на ПТ с р — n — затвором (а) и МДП-типа (б)

В ключах на МДП-транзисторах с индуцированным каналом (рис. 10.6) роль резистора Rcвыполняют транзисторы VT1, а роль активного элемента — транзисторы VT2. Транзисторы VT2 имеют канал р-типа, а транзисторы VT1 — канал р-типа (рис. 10.6, а) или n-типа (рис. 10.6, б).Их передаточные характеристики показаны на рис. 10.7, а и 10.7, б соответственно. Графики напряжений, поясняющие работу ключей, представлены на рис. 10.8.

При подаче на вход положительного напряжения Е1транзисторы VT2, имеющие канал р-типа, закрываются.

Основные положения алгебры логики

Рис. 10.6. Схемы электронных ключей на МДП-транзисторах с индуцированными каналами одинакового (а) и противоположного (б) типов электропроводности

Основные положения алгебры логики

Рис. 10.7. Передаточные характеристики МДП-транзисторов с индуцированными

каналами различного типа электропроводности

Основные положения алгебры логики

Рис. 10.8. Графики изменений входного (а) и выходного (б)

напряжений электронных ключей на МДП-транзисторах

Транзистор VT1 первого ключа (рис. 10.6, а)открыт вследствие поданного на его затвор отрицательного напряжения смещения Есм. Транзистор VT1 второго ключа, имеющий канал п-типа (рис. 10.6, б), также оказывается открытым, так как его затвор соединен со входом, на котором действует положительное напряжение Е1UЗИ пор. Сопротивления открытых транзисторов VT1 малы по сравнению с сопротивлениями закрытых транзисторов VT2, и uвых ? – Ес.

При поступлении на вход ключей отрицательного напряжения –Е2

Случайные записи:

ЗАКОНЫ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ


Похожие статьи:

Добавьте постоянную ссылку в закладки. Вы можете следить за комментариями через RSS-ленту этой статьи.
Комментарии и трекбеки сейчас закрыты.