Погрешности измерений и способы их описания с вероятностно-статистических позиций

В результате измерения получают значение измеряемой величины в виде числа в принятых единицах величины. Погрешность измерения тоже удобно выражать в виде числа. Однако погрешность измерения является случайной величиной, исчерпывающим описанием которой может быть только закон распределения. Из теории вероятностей известно, что закон распределения можно охарактеризовать числовыми характеристиками (неслучайными числами), которые и используются для количественной оценки погрешности.

Примечание: Ранее применялись различные обозначения, которые до сих пор встречаются в технической литературе по метрологии, поэтому они здесь и приводятся. В настоящее время существует ГОСТ Р 50779.10-2000 (ИСО 3534.1-93) «Статистические методы. Вероятность и основы статистики. Термины и определения».

Систематическая погрешность Dс — разность между математическим ожиданием Погрешности измерений и способы их описания с вероятностно-статистических позиций результатов наблюдения измеряемой величины x и истинным значением Погрешности измерений и способы их описания с вероятностно-статистических позиций :

Погрешности измерений и способы их описания с вероятностно-статистических позиций ,

где Погрешности измерений и способы их описания с вероятностно-статистических позиций — математическое ожидание (различные обозначения одной и той же величины, встречающиеся в технической литературе по метрологии);

Погрешности измерений и способы их описания с вероятностно-статистических позиций — функция распределения случайной величины x.

Случайная погрешность Погрешности измерений и способы их описания с вероятностно-статистических позиций — разность между результатом единичного наблюдения и математическим ожиданием результата измерения:

Погрешности измерений и способы их описания с вероятностно-статистических позиций

Математическое ожидание погрешности Погрешности измерений и способы их описания с вероятностно-статистических позиций равно математическому ожиданию систематической погрешности (составляющей), так как математическое ожидание случайной погрешности всегда равно нулю:

Погрешности измерений и способы их описания с вероятностно-статистических позиций .

Промахом, или грубой погрешностью, называется погрешность результата отдельного измерения, входящего в ряд измерений, которая для данных условий резко отличается от остальных результатов этого ряда. Поскольку грубые погрешности относятся к случайным, для их выявления и исключения применяют методы теории вероятности и математической статистики.

Под интегральной функцией распределения результатов наблюдений понимается зависимость вероятности того, что результат наблюдения в i-м опыте окажется меньшим некоторого текущего значения хi , от самой величины х :

Погрешности измерений и способы их описания с вероятностно-статистических позиций .

Латинская буква Р является здесь символом вероятности события. Интегральная функция распределения результатов наблюдений является неубывающей функцией аргумента и определена в диапазоне

Погрешности измерений и способы их описания с вероятностно-статистических позиций .

Обычно график интегральной функции распределения результатов наблюдений представляет собой непрерывную неубывающую кривую, начинающуюся от нуля на отрицательной бесконечности и асимптотически приближающуюся к единице при увеличении аргумента до плюс бесконечности.

Случайную погрешность ? тоже следует рассматривать как случайную величину, принимающую в разных опытах различные значения ?i . Ее интегральную функцию распределения получаем переносом начала координат в точку х = Q , где Q – истинное значение измеряемой величины:

Погрешности измерений и способы их описания с вероятностно-статистических позиций .

В некоторых случаях более удобным является описание свойств результатов наблюдений и случайных погрешностей с помощью дифференциальной функции распределения, иначе называемой плотностью распределения вероятностей и обозначаемой через fх(х) или обозначается через f?(?). Иногда используется обозначение pх(х) или соответственно через p?(?). Дифференциальная функция распределения является функцией, производной от интегральной по своему аргументу:

Погрешности измерений и способы их описания с вероятностно-статистических позиций .

График дифференциальной функции распределения, который называют кривой распределения, чаще всего имеет колоколообразную форму и обладает максимумом при х = Q или соответственно ? = 0.

От дифференциальной функции распределения легко перейти к интегральной путем интегрирования первой

Погрешности измерений и способы их описания с вероятностно-статистических позиций . (3.1)

Поскольку Погрешности измерений и способы их описания с вероятностно-статистических позиций , то справедливо следующее равенство:

Погрешности измерений и способы их описания с вероятностно-статистических позиций .

Для интегральной функции распределения справедливо следующее утверждение: вероятность попадания результата наблюдений или случайной погрешности в заданный интервал равна разности значений функции распределения на границах этого интервала т. е..

Погрешности измерений и способы их описания с вероятностно-статистических позиций

Для погрешностей:

Погрешности измерений и способы их описания с вероятностно-статистических позиций

Функция распределения является самым универсальным способом описания поведения случайных погрешностей. Однако для определения функций распределения необходимо проведение весьма кропотливых научных исследований и обширных вычислительных работ. Поэтому к такому способу описания случайных погрешностей прибегают в исключительных случаях, а используют специальные величины.

Начальным моментом r-го порядка результатов наблюдений называется интеграл вида

Погрешности измерений и способы их описания с вероятностно-статистических позиций ,

представляющий собой математическое ожидание степени Погрешности измерений и способы их описания с вероятностно-статистических позиций . Откуда следует, что первый начальный момент совпадает с математическим ожиданием результатов наблюдений: Погрешности измерений и способы их описания с вероятностно-статистических позиций .

Центральным моментом r-го порядка результатов наблюдений называется интеграл вида

Погрешности измерений и способы их описания с вероятностно-статистических позиций ,

представляющий собой математическое ожидание величины Погрешности измерений и способы их описания с вероятностно-статистических позиций ,т. е. r-й степени случайной погрешности Погрешности измерений и способы их описания с вероятностно-статистических позиций Погрешности измерений и способы их описания с вероятностно-статистических позиций .

Можно показать, что первый центральный момент результатов наблюдений тождественно равен нулю.

Погрешности измерений и способы их описания с вероятностно-статистических позиций .

Начальные и центральные моменты случайных погрешностей совпадают между собой и с центральными моментами результатов наблюдений: Погрешности измерений и способы их описания с вероятностно-статистических позиций , поскольку математическое ожидание случайных погрешностей равно нулю.

Вычислим второй центральный момент, называемый дисперсией результатов наблюдений и обозначаемый через Погрешности измерений и способы их описания с вероятностно-статистических позиций :

Погрешности измерений и способы их описания с вероятностно-статистических позиций ,

где Погрешности измерений и способы их описания с вероятностно-статистических позиций — символ математического ожидания погрешности;

Погрешности измерений и способы их описания с вероятностно-статистических позиций — символ дисперсии.

Математическое ожидание погрешности измерений Погрешности измерений и способы их описания с вероятностно-статистических позиций — есть неслучайная величина,1 относительно которой рассеиваются другие значения погрешностей, при повторных измерениях

Погрешности измерений и способы их описания с вероятностно-статистических позиций . (3.2)

Математическое ожидание погрешности характеризует систематическую составляющую погрешности измерения Погрешности измерений и способы их описания с вероятностно-статистических позиций . Как числовая характеристика погрешности Погрешности измерений и способы их описания с вероятностно-статистических позиций показывает на смещенность результатов измерения относительно истинного значения измеряемой величины.

Дисперсия погрешностиПогрешности измерений и способы их описания с вероятностно-статистических позиций характеризует степень рассеивания (разброса) отдельных значений погрешности относительно математического ожидания. Так как рассеивание происходит за счет случайной составляющей погрешности то Погрешности измерений и способы их описания с вероятностно-статистических позиций . Чем меньше дисперсия, тем меньше разброс, тем точнее выполнены измерения. Следовательно, дисперсия может служить характеристикой точности проведенных измерений. Однако размерность дисперсии выражается в единицах величины в квадрате. Поэтому в качестве числовой характеристики точности измерений используют стандартное отклонение (среднеквадратическое отклонение СКО, среднеквадратическая погрешность, СКП)

Погрешности измерений и способы их описания с вероятностно-статистических позиций

с положительным знаком и выражаемое в единицах погрешности (и, естественно, совпадающей с единицей измеряемой физической величины).

В настоящее время вводятся также новые понятия, параллельные прежней терминологии, например, следующие:

Правильность – степень близости результата измерений к истинному (действительному) значению измеряемой величины.

Показателем правильности является отсутствие или малая величина систематической погрешности, т.е. близость математического ожидания (среднего значения) к истинной величине.

Прецизионность — степень близости друг к другу независимых результатов измерений, полученных в конкретных регламентированных условиях.

Показателем прецизионности является отсутствие или малая величина случайных погрешностей (или их обобщенная характеристика – стандартное отклонение). Прецизионность в бытовом понимании – кучность.

Обычно при проведении измерений стремятся получить результат измерения с погрешностью, не превышающей допускаемое значение. Знание только стандартного отклонения не позволяет найти максимальную погрешность, которая может встретиться при измерениях, что свидетельствует об ограниченных возможностях такой числовой характеристики погрешности, как Погрешности измерений и способы их описания с вероятностно-статистических позиций . Более того, при разных условиях измерений, когда законы распределения погрешностей могут отличаться друг от друга, погрешность с меньшей дисперсией может принимать большие значения.

Максимальные значения погрешности зависят не только от Погрешности измерений и способы их описания с вероятностно-статистических позиций , но и от вида закона распределения. Когда распределение погрешности теоретически неограниченно, например, при нормальном законе распределения, погрешность может быть любой по значению. В этом случае можно лишь говорить об интервале, за границы которого погрешность не выйдет с некоторой вероятностью. Этот интервал называют доверительным интервалом, характеризующую его вероятность — доверительной вероятностью, а границы этого интервала — доверительными значениями погрешности.

В практике измерений применяют различные значения доверительной вероятности, например: 0,90; 0,95; 0,98; 0,99; 0,9973, 0,999 и даже выше, когда связано с безопасностью и здоровьем людей. Доверительный интервал и доверительную вероятность выбирают в зависимости от конкретных условий измерений.

В настоящее время в нормативных документах, если нет веских оснований, рекомендовано принимать значения доверительной вероятности равным 0,95 для обычной практики измерений и 0,99 для точных измерений или в случае, когда измерения нельзя повторить.

Доверительный интервал является одной из основных характеристик точности измерений. Одна из форм представления результата измерения устанавливается в следующем виде:

х ; Dх от Погрешности измерений и способы их описания с вероятностно-статистических позиций до Погрешности измерений и способы их описания с вероятностно-статистических позиций *; Р,

где х — результат измерения в единицах измеряемой величины; Погрешности измерений и способы их описания с вероятностно-статистических позиций , Погрешности измерений и способы их описания с вероятностно-статистических позиций и Погрешности измерений и способы их описания с вероятностно-статистических позиций — соответственно погрешность измерения с нижней и верхней ее границами в тех же единицах ( Погрешности измерений и способы их описания с вероятностно-статистических позиций и Погрешности измерений и способы их описания с вероятностно-статистических позиций должны быть указаны со своими знаками. В общем случае Погрешности измерений и способы их описания с вероятностно-статистических позиций может быть не равна Погрешности измерений и способы их описания с вероятностно-статистических позиций .); Р — вероятность, с которой погрешность измерения находится в этих границах.

Если границы погрешности симметричны, т. е. Погрешности измерений и способы их описания с вероятностно-статистических позиций , то результат измерения может быть записан так:

Погрешности измерений и способы их описания с вероятностно-статистических позиций

Допускаются и другие формы представления результата измерения, отличающиеся от приведенной формы тем, что в них указывают раздельно характеристики систематической и случайной составляющих погрешности измерения. При этом для систематической погрешности указывают ее вероятностные характеристики.

Ранее уже отмечалось, что иногда систематическую погрешность приходится оценивать с вероятностных позиций. В этом случае основными характеристиками систематической погрешности являются Погрешности измерений и способы их описания с вероятностно-статистических позиций , Погрешности измерений и способы их описания с вероятностно-статистических позиций и ее доверительный интервал.

Выделение систематической и случайной составляющих погрешности целесообразно, если результат измерения будет использован при дальнейшей обработке данных, например при определении результата косвенных измерений и оценке его точности, при суммировании погрешностей и т. п.

Любая из форм представления результата измерения должна содержать необходимые данные, на основании которых может быть определен доверительный интервал для погрешности результата измерения. В общем случае доверительный интервал может быть установлен, если известен вид закона распределения погрешности и основные числовые характеристики этого закона.

На рис. 2 графически изображены погрешности измерений.

Погрешности измерений и способы их описания с вероятностно-статистических позиций

Рис. 2. Погрешности измерений

3.5. НЕРАВЕНСТВО ЧЕБЫШЕВА

Оценим вероятность того, что при однократном наблюдении случайная погрешность по абсолютной величине не превзойдет некоторой наперед заданной величины e , т. е. вероятность Погрешности измерений и способы их описания с вероятностно-статистических позиций . Для этого воспользуемся выражением для дисперсии случайной погрешности и запишем в следующем виде:

Погрешности измерений и способы их описания с вероятностно-статистических позиций .

Исключим второе слагаемое из правой части, что равносильно сужению пределов интегрирования. Правая часть равенства при этом возрасти не может, поэтому имеет место следующее неравенство:

Погрешности измерений и способы их описания с вероятностно-статистических позиций .

При замене под знаком интеграла ?2 на меньшую величину e2 неравенство может только усилиться:

Погрешности измерений и способы их описания с вероятностно-статистических позиций

Интегралы в квадратных скобках представляют собой, согласно формуле, вероятности того, что случайная погрешность примет значения, лежащие в интервалах, определяемых пределами интегрирования:

Погрешности измерений и способы их описания с вероятностно-статистических позиций .

Отсюда получаем окончательно

Погрешности измерений и способы их описания с вероятностно-статистических позиций . (3.3)

Этот результат известен как неравенство Чебышева или неравенство Бьеноме-Чебышева.

Полагая Погрешности измерений и способы их описания с вероятностно-статистических позиций , найдем вероятность того, что результат однократного наблюдения отличается от истинного значения на величину, большую утроенного среднего квадратического отклонения, т. е. вероятность того, что случайная погрешность окажется большей Погрешности измерений и способы их описания с вероятностно-статистических позиций

Погрешности измерений и способы их описания с вероятностно-статистических позиций .

Вероятность того, что погрешность измерения не превысит Погрешности измерений и способы их описания с вероятностно-статистических позиций составит

Погрешности измерений и способы их описания с вероятностно-статистических позиций

Неравенство Чебышева дает только нижнюю границу для вероятности Погрешности измерений и способы их описания с вероятностно-статистических позиций ,меньше которой она не может быть ни при каком распределении. Обычно Погрешности измерений и способы их описания с вероятностно-статистических позиций значительно больше 89%. Так, например, в случае нормального распределения погрешностей эта вероятность составляет 99,73 %.

3.6. ОЦЕНКА ДИСПЕРСИИ

Ввиду широкого использования в технических приложениях приведем выражение для вычисления оценки дисперсии, которую можно представить в виде

Погрешности измерений и способы их описания с вероятностно-статистических позиций (3.4)

Докажем это утверждение.

Предварительно напомним, что в математической статистики, для оценок истинного значения, найденного по экспериментальным наблюдениям, предъявляются требования состоятельности, несмещенности и эффективности.

Оценка называется состоятельной, если при увеличении числа наблюдений она стремится к истинному значению оцениваемой величины.

Оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно истинному значению оцениваемой величины.

Оценка называется эффективной, когда ее дисперсия, найденная из нескольких оценок, является наименьшей.

Не трудно убедиться, что среднеарифметическая величина Погрешности измерений и способы их описания с вероятностно-статистических позиций , которую мы используем вместо математического ожидания Погрешности измерений и способы их описания с вероятностно-статистических позиций , удовлетворяет всем этим требованиям.

Рассмотрим выражения для дисперсии.

По определению, дисперсия случайной величины x имеет вид

Погрешности измерений и способы их описания с вероятностно-статистических позиций ,

где Погрешности измерений и способы их описания с вероятностно-статистических позиций — вероятность появления события Погрешности измерений и способы их описания с вероятностно-статистических позиций , а дисперсия случайной величины Погрешности измерений и способы их описания с вероятностно-статистических позиций (среднеарифметического) равна

Погрешности измерений и способы их описания с вероятностно-статистических позиций .

Приведенные выражения имеют недостаток – в них входит неизвестная величина математическое ожидание Погрешности измерений и способы их описания с вероятностно-статистических позиций , которая для нас остается неизвестной. Поэтому нам хотелось бы заменить эту неизвестную величину известной величиной – среднеарифметической.

Однако при этом сразу возникает вопрос — насколько данная оценка будет удовлетворять требованиям состоятельности, несмещенности и эффективности и каким будет формула для вычисления оценки дисперсии?

Исследуем оценку дисперсии Погрешности измерений и способы их описания с вероятностно-статистических позиций . Для этого запишем

Погрешности измерений и способы их описания с вероятностно-статистических позиций

Проанализируем слагаемые

Погрешности измерений и способы их описания с вероятностно-статистических позиций

и запишем результат

Погрешности измерений и способы их описания с вероятностно-статистических позиций

Таким образом, произведя несложные преобразования, окончательно получим:

Погрешности измерений и способы их описания с вероятностно-статистических позиций .

Для оценки дисперсии введено специальное обозначение Погрешности измерений и способы их описания с вероятностно-статистических позиций (мы использовали обозначение Погрешности измерений и способы их описания с вероятностно-статистических позиций только для обозримости вывода). В новых общепринятых обозначениях формулы имеют вид

Погрешности измерений и способы их описания с вероятностно-статистических позиций (3.5)

и

Погрешности измерений и способы их описания с вероятностно-статистических позиций . (3.6)

Легко убедиться, что полученная оценка дисперсии удовлетворяет требованиям состоятельности, несмещенности и эффективности. Читатель может в этом убедиться самостоятельно, проведя проверку по определению.

Полным описанием случайной величины, а следовательно и погрешности, является ее закон распределения, которым определяется характер проявления различных результатов отдельных измерений.

Случайные записи:

Лекция 1: Погрешности вычислений


Похожие статьи:

Добавьте постоянную ссылку в закладки. Вы можете следить за комментариями через RSS-ленту этой статьи.
Комментарии и трекбеки сейчас закрыты.