Свободные и связанные вхождения переменых в формулы

Каждый случай, когда в последовательности знаков, представляющей собой формулу А, встречается предметная переменная x, называется вхождением этой переменной; каждое вхождение в формулу А предметной переменной x в часть вида ?x В или ? х В, называется связанным. Подформула В формул указанного вида называется областью действия соответственно квантора общности ? и квантора существования ? с переменной x. Связанным является вхождение переменной, стоящей непосредственно за квантором, и каждое вхождение ее в область действия квантора. Всякое вхождение х в отличие от указанного, называется свободным. Переменная х, имеющая связанные вхождения и формулу А, называется связанной в этой формуле; переменная, имеющая свободные вхождения в формулу А, называется свободной в этой формуле.

Обратим внимание на то, что согласно определению свободной и связанной переменной одна и та же переменная в одной и той же формуле может быть свободной и связанной. Такова, например, переменная x? в формуле ? x? P¹(x?) ? Q?(x?, x?); переменная x?

является здесь свободной, но не связанной. Мы рассматриваем здесь только такие термы, в которых все переменные могут иметь лишь свободные вхождения, и, значит, являются свободными переменными. Формула и терм, не содержащие свободных переменных, называются соответственно замкнутой формулой и замкнутым т е р м о м (очевидно, что для рассматриваемых здесь термов, если терм замкнут, то он вообще не содержит переменных).

Семантику языка, как мы видели при анализе естественного языка, составляет совокупность предметных значений и смысловых содержаний его выражений. Но в данном случае, поскольку речь идет не об анализе уже имеющегося языка, а о построении — в данном случае логического формализованного языка —то семантикой называют совокупность правил приписывания значений выражениям этого языка. Точнее говоря, здесь даже не ставится задача построения какого-то определенного языка. Создается лишь некоторая схема языка определенного типа, в данном случае так называемой классической логики предикатов первого порядка. Этот тип языка отличается от языков других типов, даже языков с тем же синтаксисом (например, языка интуиционистской логики предикатов, определенной системы релевантной логики) своей семантикой. Приписывание значений отдельным выражениям языка, составляющим дескриптивным терминам, употребляемым при построении формул, осуществляется лишь в составе тех илииных формул и при этом различно от случая к случаю в зависимости от характера решаемых логических задач, (например, при переводе каких то высказываний с естественного языка на данный формализованный, при анализе логических отношений между формулами данного языка, при аксиоматизации некоторых теорий, а именно при формулировке их аксиом в языке данного типа). Совокупность всех правил приписывания значений выражениям языка разбивается на следующие три группы (I,II,III).

I. Правила определения (задания) возможных значений предметных переменных и правила приписывания предметных значений дескриптивным постоянным в составе рассматриваемых в том или ином случае формул—интерпретация выражений языка. II. Правила приписывания значений свободным переменным в составе тех или иных рассматриваемых формулу. III. Правила приписывания истинностных значений интерпретированным формулам, не содержащим свободных переменных. I. Интерпретация состоит, во-первых, в выборе некоторого непустого множества D индивидов, предметов того или иного типа, к которым могут относиться образуемые из тех или иных формул языка высказывания. Индивиды — любые предметы в широком смысле этого слова, структура которых не учитывается, и которые можно отличать друг от друга. В качестве такой области D можно взять множество людей, растений, городов, чисел и т. д.; возможно, также объединение в одной области множеств различных предметов, например, людей, городов, домов (положим, для выражения высказываний о местах жительства людей). Но при этом все различные предметы, рассматриваются именно как индивиды. Область D — это область возможных значений предметных переменных символы предметных переменных х, у, z, становятся именно переменными лишь при указании областиихвозможных значений. Предполагается, что на области D определено некоторое множество свойств, отношений и характеристик предметно-функционального типа (то есть возможных значений предикаторов и предметных функторов).

Второй момент интерпретации языка состоит в задании некоторой функции j

(интерпретационная функция) приписывания значений дескриптивным постоянным (предметным константам, предикаторам, предметным функторам опять-таки в составе рассматриваемых формул). Задание j

в каждом конкретном случае представляет собой просто указание на то, какие значения должны быть приписаны упомянутым исходным символам языка в составе рассматриваемых формул. При этом предметным константам (простые постоянные термы) приписываются в качестве предметных значений определенные предметы из заданной области D. Предикатному (n-местному) символу P¸? при n =1 в качестве значения приписываются некоторые свойства а при n1 — n-местное отношение (между предметами В). Например, если областьD есть множество целых положительных чисел, то предикатному символу P¹? можно приписать в качестве значения свойство «четно», а предикатору P?? отношение «больше» или «меньше». Предметному функтору f?? в качестве предметного значения функция j

приписывает какую-нибудь n-местную предметную функцию, определенную на области D. Например, для области чисел таковыми могут быть синус, косинус (одноместные функции), сумма, произведение (двухместные функции), для области людей — одноместные (возраст, рост), для области материальных тел — объем, удельный вес.

Значения сложных термов, каковыми являются также предметы из области D, и приписывание которых составляет их интерпретацию, вычисляются в зависимости от приписанных уже значений их простым составляющим — предметным константам, предметным функторам, а также и возможным предметным переменным, значения которых приписываются по правилам II. Вычисление происходит в соответствии с правилами построения сложного терма. Сложные термы образуются, как мы видели, с применением предметных функторов и строятся индуктивно. Значение такого терма вычисляется последовательно в соответствии с порядком его построения.

Пример. Имеем терм f??(f??(a? , a?), f??(a?, a?)).

Пусть область D — целые положительные числа, a? есть число 3, a? =4, a? = 5, f??— сумма, f??— произведение.

Тогда

f??(a? , a?)=7;

f??(a?, a?)=15;

f??(f??(a? , a?), f??(a?, a?))=22.

II. Свободным переменным в той или иной формуле (а тем самым и в составе термов этой формулы) в качестве значений приписывают, также как и постоянным термам, предметы из области D. Такие приписывания осуществляются когда мы хотим получить из интерпретированной формулы со свободными переменными высказывание нашего языка. Приписывание осуществляют заменой каждого вхождения некоторой свободной переменной какой-либо предметной константой с одновременной интерпретацией таковой, если она еще не была интерпретирована в формуле.

Будем говорить, что при осуществлении этих приписываний в добавление к уже имеющейся интерпретации формулы, формула оказывается полностью интерпретированной.

Однако важно заметить, что формулы со свободными переменными нужны не только для образования высказываний из них. Они представляют собой особые высказывательные формы, называемые предикатами. Это сложные знаковые формы возможных свойств предметов заданной области и возможных отношений среди этих предметов. По типу их предметных значений они должны быть отнесены к категории предакаторов. Можно назвать их сложными предикаторами (в отличие от простых, указанных среди исходных символов). Надо отметить, что эти формы не выделяются и даже не замечаются в естественных языках. Они играют, однако, решающую роль в теории понятия. Имея тот или иной предикат, можно ставить вопрос, для каких предметов, которые могут представлять свободные переменные, этот предикат выполняется или не выполняется. В таком случае мы просто указываем предметы для соответствующих переменных (не осуществляя указанных подстановок предметных констант вместо них). Например, можно сказать, что предикат «(Р2(x, a?)?yQ2(x, y))», — выражающий свойство какого-то числа х из области натуральных чисел, состоящее в том, что «если это число больше 5 (знаками отношения «больше» и «5» является соответственно Р2 и a? то оно делится без остатка (Q2) на некоторое число у», выполняется для чисел 6, 8, 9 и т. д., но не выполняется для 7, 11 и др.

III. Приписывание истинностных значений полностью интерпретированным формулам.

Напомним, что полностью интерпретированная формула — это формула, в которой осуществлена интерпретация дескриптивных постоянных и приписано значение всем свободным переменным, если таковые имеются в ней. Каждая такая формула представляет собой определенное высказывание — с определенным смыслом и истинностным значением — но лишь при условии, если нам известны значения встречающихся в ней — явным или неявным образом — логических констант, (которые и определяются рассматриваемыми правилами III). Явным образом указываются — в сложных формулах — логические константы, перечисленные в списке исходных символов. Простые атомарные формулы видов P? (t?, …,tn)

по-видимому, не содержат логических констант. Однако, неявным образом здесь присутствует логическое отношение принадлежности свойства Р некоторому предмету t при n= 1 или о наличии отношения P? между предметами t?, …,tn из области D.

Определение значений всех логических терминов, как явно обозначенных, так и неявно содержащихся в формулах, осуществляется как раз посредством правил приписывания истинностных значений полностью интерпретированным формулам нашего языка (строго говоря, мы имеем здесь так называемое неявное определение логических констант, но они достаточны для понимания того, какой именно смысл они придают нашим высказываниям).

Правила эти таковы. Значение простого (атомарного) высказывания P? (t?, …,tn), n = 1, определяется в зависимости от заданных значений термов t?, …,tn и предикатора P? . Оно зависит от характера предметов данной предметной области. Положим, имеем формулу: P?(f¹? (a?), f¹?(a?)). Предположим, что согласно заданной интерпретации D — множество людей: Р2 означает «больше»: f¹? «возраст»: a? — Петров, a? — Сидоров. Вся формула представляет собой высказывание «Возраст Петрова больше, чем возраст Сидорова». Высказывание истинно или ложно в зависимости от того, имеет или не имеет место данное отношение между возрастами Петрова и Сидорова.

Заметим, что в части лексики мы перевели здесь высказывание, полученное из определенной формулы рассматриваемого языка (ЯКЛП), по существу на обычный естественный русский язык. В самом ЯКЛП знаковой формой его является упомянутая формула. Подобные переводы обычно напрашиваются сами собой в силу того, что задание значений отдельных терминов — составляющих формулу — осуществляется посредством выражений естественного языка. Мы говорим «значение Р2 — больше, a? и a? — соответственно Сидоров и Петров» и т. п.). Это значит, что приписывание предметных значений выражениям описываемого языка осуществляется методом перевода их в тот или иной естественный язык. Может показаться, что при упомянутых переводах высказываний данного языка на естественный теряется та самая точность их выражений, ради достижения которой как раз и строятся формализованные языки. Однако точность здесь по сравнению с естественными языками достигается не за счет более точною употребления отдельных терминов, — достаточная точность их уже должна быть обеспечена при осуществлении интерпретации выражений формализованного языка — а за счет определенных, стандартных способов построения высказываний и их логических форм. И она именно сохраняется, или точнее сказать, должна сохраняться при указанных переводах.

Для сложных формул имеем, предполагая, что все составляющие их формулы полностью интерпретированы.

Формула вида АВ имеет значение «истина» — при данной интерпретации и приписывании значений свободным переменным — е. т. е. А имеет значение И и В имеет значение И.

Формула A v В — истина е. т. е. значение А равно И или значение В равно И.

Формуле вида А ? В приписывается значение И е. т. е. А имеет значение Л или Вимеет значение И.

Значением формул вида А является И е.т.е. значение А есть Л.

Формула вида ?х А(х) имеет значение «истина» е. т. е. для всякого предмета а(i) из D, А(а(i)) — истина (А(а(i)) — результат замещения всех свободных вхожденийх в А(х) константой а(i)¹).

Формула вида ? х А(х) имеет значение истина е. т. е. существует предмет а в области D такой, что истинна формула A(a(i)).

Если значение некоторой формулы не является И, то она имеет значение Л, но никакая формула не имеет одновременно значения И и Л.

Как уже говорилось, правила приписывания истинностных значений полностью интерпретированным формулам неявным образом определяют также значения логических констант «», «v», «? », «» и кванторов ? и ? и вместе с тем и смыслы высказываний, образованных посредством соответствующих констант. Например, высказывания вида ?х А(х) , ? х А(х) ,относящиеся к некоторой области индивидов D, мы должны понимать, соответственно, как «для всякого предмета х из D верно А(х}» и «существует предмет х в D такой, что верно А(х)».Нетрудно видеть, что , v, ? , , представляют собой здесь логические связки — знаки функций истинности, — определенные ранее в разделе «Логика высказываний», но теперь применительно к формулам ЯЛП.

Предикатом называют высказывательную функцию, определенную на множестве наборов значений объектных переменных. Семантика этой функции определяется предикатным символом, за которым в скобках следуют аргументы (объектные переменные и константы). Эта функция может принимать только два значения: Истина или Ложь, называемые истинностными значениями. Если предикат имеет только один аргумент, то предикатный символ указывает на определенное свойство объекта, а если аргументов несколько – на наличие отношения между объектами, представленными аргументами. Отношения между объектами среды, также как и в логике высказываний, представляются в виде предложений (формул), состоящих из переменных, констант, логических связок, скобок, а также функций, предикатов и кванторов.

Недостатком логики высказываний является ее многословность –даже для описания простых задач требуется значительное количество логических переменных и формул. Представление каждого отдельного свойства для каждого конкретного объекта требует отдельной логической

переменной, что очень неудобно. Также требуется использовать отдельные переменные для описания всех необходимых комбинаций взаимосвязей между понятиями. С другой стороны, в исчислении высказываний каждый атомарный (элементарный) символ обозначает выражение некоторой произвольной сложности. При этом не существует возможности получить доступ к составным частям этого выражения. Например, фраза «курс рубля имеет тенденцию к росту», обозначенная через логическую переменную r , говорит только о росте курса рубля и не может быть использована в другом контексте. Логика предикатов позволяет решить эти проблемы

представления знаний.

Главная идея логики предикатов заключается во взаимнооднозначном сопоставлении каждого уникального объекта с индивидуальной объектной константой, обозначаемой именем объекта, а

класс однотипных объектов – с объектной переменной, значением которой являются объектные константы. Например, выражение, приведенное выше, можно представить на языке логики предикатов так: изменение_курса(Рубль, Растет). Очевидно, такое представление гораздо

более наглядно и гибко.

Идея этой стратегии заключается в опровержении целевой формулы. То есть, если требуется доказать истинность ?, то в базу знаний добавляется ее отрицание ?. Далее на основе обратного вывода, начиная с формулы ?, предпринимается попытка достичь противоречия, то есть

вывод пары одновременно истинных литералов ? и ?, что невозможно, так как противоречии здравому смыслу. Такая пара носит название пустой резольвенты, так как в результате применения правила резолюций приводит к пустому множеству. Таким образом, делается опровержение истинности ?, из чего следует истинность ? или просто ?. Если в результате рассмотрения всех возможных путей вывода противоречия достичь не удается, то считается, что целевая формула является ложной или, иначе говоря, не выводимой. В основе предложенной Робинсоном стратегии, как это очевидно из названия, лежит метод резолюций. Правило резолюции в логике высказываний имеет следующий вид

? U ?, ? U ? + ? U ?.

В логике предикатов оно выглядит также, но вместо логических переменных ?, ?, ? в правило входят формулы логики предикатов. Но для применения этого правила, необходимо, чтобы все предложения в базе знаний имели дизъюнктивную форму. Формулы, представленные в виде

дизъюнкции литералов называют клаузальными формулами или клаузами (clause). Таким образом, использование правила резолюции требует клаузальной формы представления знаний, что требует подготовки БЗ на начальном этапе. Преимуществом же является то, что в результате

применения этого правила форма представления знаний не меняется – выводятся также дизъюнкции. Следовательно, весь вывод может быть осуществлен только на основе правила резолюций. Поэтому нет необходимости осуществлять поиск подходящего правила вывода, а сам

вывод превращается в итеративную процедуру выполнения однотипных шагов.

Билет №46. Выразите с помощью предикатов следующие утверждения: «Каждый студент использует какой-нибудь компьютер, и, по крайней мере, один компьютер используется каждым студентом», «Каждый год

Случайные записи:

Разведопрос: Денис Селезнёв об Украине


Похожие статьи:

Добавьте постоянную ссылку в закладки. Вы можете следить за комментариями через RSS-ленту этой статьи.
Комментарии и трекбеки сейчас закрыты.