Выражение суждения в виде формулы логики предикатов

Суждение – это мысль, в которой утверждается наличие или отсутствие свойств предметов, отношений между предметами. Простым суждением называется суждение, в котором нельзя выделить часть, в свою очередь являющуюся суждением. Среди простых суждений выделяют атрибутивные суждения и суждения об отношениях. В атрибутивных суждениях выражается наличие или отсутствие у предметов некоторых свойств. Например, Иванов – спортсмен, некоторые моря имеют пресную воду.

Все атрибутивные суждения можно разделить на типы и перевести на язык логики предикатов: a есть P – P(a) ; Все S есть P – x(S(x)®P(x)) (общеутвердительное суждение); Ни один S не есть P – x(S(x)®OP(x)) (общеотрицательное суждение); Некоторые S есть P – $x(S(x)UP(x)); (частноутвердительное суждение); Некоторые S не есть P– $x(A(x)UOP(x)) (частноотрицательное суждение).

При переводе на язык логики предикатов надо руководствоваться правилом: если кванторная переменная связана квантором общности (), то в формуле используется знак импликации ( ®), а если кванторная переменная связана квантором существования ($), то в формуле используется знак конъюнкции (U).

Пример 2.3.

Перевести на язык логики предикатов следующие суждения.

а) Андрей – студент.

Заменим имяАндрей символом а и введем предикат P(x) = x – студент. Это суждение можно выразить формулой: P(а).

б) Всякая логическая функция может быть задана таблицей.

Введем предикаты S(x) = x – логическая функция; P(x) = x может быть задана таблицей. Это суждение можно выразить формулой: x(S(x) ® P(x)).

в) Ни один человек не всеведущ.

Введем предикаты S(x) = x – человек; P(x) = x всеведущ. Суждение можно выразить формулой: x(S(x) ® OP(x)).

г) Некоторые студенты были на конференции.

Введем предикаты S(x) = x – студент; P(x) = x был на конференции. Суждение можно выразить формулой: $x(S(x) U P(x)).

д) Некоторые люди не умеют слушать.

Введем предикаты S(x) = x – человек; P(x) = x умеет слушать. Суждение можно выразить формулой: $x(A(x) U OP(x)).

Суждения об отношениях выражают отношения между объектами. При переводе этих суждений в формулы используют многоместные предикаты и рассмотренные правила. При переводе отрицаний суждений на язык формул применяется правило переноса квантора через знак отрицания и другие равносильные преобразования.

Пример 2.4.

Суждение Некоторые студенты сдали все экзамены записать в виде формулы логики предикатов. Построить отрицание данного суждения в виде формулы, не содержащей внешних знаков отрицания. Перевести на естественный язык.

Введем предикаты: A(x) = x – студент; B(y) = y – экзамен, C(x, y) =
x сдал экзамен y. Тогда предложение Некоторые студенты сдали все экзамены можно записать в виде следующей формулы:

$xy(A(x)UB(y) ® C(x, y)).

Построим отрицание этой формулы, применяя равносильные преобразования:

O$xy(A(x)UB(y)®C(x, y))) º x$y(O(A(x)UB(y) ®C(x, y))º

º x$y(A(x)UB(y)U OC(x, y)).

Это предложение можно прочитать следующим образом:

Каждый студент не сдал хотя бы один экзамен.

Задания

1. Данную формулу логики предикатов привести к предваренной нормальной форме.

2. Данное суждение записать в виде формулы логики предикатов. Построить отрицание данного суждения в виде формулы, не содержащей внешних знаков отрицания. Перевести на естественный язык.

Варианты индивидуальных заданий

Вариант № 1

1. x(P(x)UR(x)®$yQ(x,y)).

2. Не всякое действительное число является рациональным.

Вариант № 2

1. x(P(x)®(R(x)((yQ(x,y)).

2. Каждый студент выполнил хотя бы одну практическую работу.

Вариант № 3

1. xP(x)®$yP(y))Uz$xR(x, z).

2. Ни одно четное число, большее 2, не является простым.

Вариант № 4

1. x ($y(OP(x)UQ(y))® R(y, z)).

2. Некоторые звезды не видны.

Вариант № 5

1. x ($y(OP(x,y)UQ(y, z))).

2. Произведение любых двух простых чисел не является простым числом.

Вариант № 6

1. x($y(OP(x))UQ(y)).

2. Всякое положительное число больше всякого отрицательного числа.

Вариант № 7

1. x($y(OP(x))«Q(y, z)).

2. Все ромбы являются параллелограммами.

Вариант № 8

1. x(P(x) ® Q(x, y)) ® ($yP(y) ® $zQ(y, z)).

2. Некоторые четные функции периодические.

Вариант № 9

1. $xP(x, y)® (Q(x) ® O$u(P(x, u))).

2. Всякий равносторонний треугольник является равнобедренным.

Вариант № 10

1. xy($zP(x, z) U Q(x, z)) ® $uR(x, y, u).

2. Некоторые змеи ядовиты.

Вариант № 11

1. x(P(x) ® $y(Q(x, y) U $zR(x, y, z))).

2. Некоторые реки не судоходны.

Вариант № 12

1. x(P(x) « $yQ(x, y).

2. Никакое знание не бесполезно.

Вариант № 13

1. O($xyP(x, y )U (xy$zQ(x, y, z)))U$yR(y).

2. Некоторые абитуриенты поступили в институт.

Вариант № 14

1. x(P(x) ® O($yzQ(x, y, z))).

2. Студент ответил на некоторые вопросы.

Вариант № 15

1. ((O$xP(x)) U (xQ(x))U(R(x) ®yS(x, y)).

2. Автобус останавливается на всех остановках.

Вариант № 16

1.x P(x) « $xQ(x).

2. Ни одна монотонная функция не явлвется четной.

Вариант № 17

1. (OxP(x) U $xQ(x))U(R ®$S(x, y)).

2. Ни один лентяй не заслуживает похвалы.

Вариант № 18

1. P(x, y) ® O($xQ(x, y)UuP(u)).

2. Не все металлы твердые.

Вариант № 19

1. xy(Q(x) « O(P(x, y)UO($uR(x, y, u)))).

2. Некоторые студенты получают стипендию.

Вариант № 20

1. OP(x, y) « (xQ(x)UO($yuR(y, u, y))).

2. Некоторые параллелограммы являются ромбами.

Логика. 2.2. Запись суждений в виде формулы


Добавьте постоянную ссылку в закладки. Вы можете следить за комментариями через RSS-ленту этой статьи.
Комментарии и трекбеки сейчас закрыты.